ベータ値をPythonで計算する｜磁場閉じ込めの"効率"を測る

磁場閉じ込め核融合の「効率」を測る重要な指標が ベータ値（β） です。使った磁場に対して、どれだけ濃く熱いプラズマを閉じ込められたか——これが炉の経済性を大きく左右します。Pythonで計算して意味を理解します。磁気圧の続きです。

ベータ値とは

ベータは「プラズマ圧を磁気圧で割った比」です。

β = プラズマ圧 / 磁気圧 = (n·k·T) / (B²/2μ₀)

βが高いほど「弱い磁場で濃いプラズマを閉じ込められた」＝効率が良い。磁石は高価なので、少ない磁場で多くのプラズマを閉じ込めたいのです。

準備

pip install numpy

① ベータ値を計算

トカマクの代表的な条件で計算します。

import numpy as np

mu0 = 4 * np.pi * 1e-7
kB = 1.381e-23

n = 1e20                       # 密度 [1/m^3]
T_keV = 15
T_K = T_keV * 1000 * 11605
B = 5                          # 磁場 [T]

plasma_p = n * kB * T_K
mag_p = B**2 / (2 * mu0)
beta = plasma_p / mag_p

print(f"プラズマ圧: {plasma_p/1e6:.3f} MPa")
print(f"磁気圧    : {mag_p/1e6:.2f} MPa")
print(f"ベータ値  : {beta*100:.2f} %")

出力はベータ値 約2.4%。トカマクのベータは数%程度が典型で、「磁気圧の数%ぶんのプラズマ圧」しか閉じ込められていない、という意味です。

② なぜ高ベータを目指すのか

同じプラズマ性能を、弱い磁場（安い磁石）で達成できるか比べます。

# 目標プラズマ圧を、異なるベータで達成するのに必要な磁場
target_p = plasma_p
for beta_target in [0.03, 0.05, 0.10]:
    B_needed = np.sqrt(2 * mu0 * target_p / beta_target)
    print(f"ベータ {beta_target*100:.0f}% → 必要な磁場 {B_needed:.2f} T")

ベータが高いほど、同じプラズマを弱い磁場で閉じ込められます。磁石が安く小さくなり、炉全体のコストが下がる。だから各装置が高ベータを競うのです。

まとめ

• ベータ値はプラズマ圧 / 磁気圧。閉じ込め効率の指標
• 高いほど弱い磁場で濃いプラズマを閉じ込められる＝経済的
• トカマクは数%が典型。装置により狙うβが違う
• 高βは不安定になりやすく、効率と安定性のトレードオフ

もう少し詳しく（背景と理論）

ベータ値 β は「プラズマの圧力 ÷ 磁場の圧力」で定義される、磁場閉じ込めの効率指標です¹。β が大きいほど、同じ磁場でより多くのプラズマ（＝より多くの核融合出力）を閉じ込められて経済的です。しかし β を上げすぎるとプラズマが磁場を押しのけてMHD不安定性を起こし、閉じ込めが破綻します。この上限がトロヨン限界で、β_max ≈ g·I/(a·B)（g はトロヨン係数、I は電流、a は小半径、B は磁場）という経験式で表されます²。実際のトカマクの β は数%程度で、この小さな値が「磁場で高圧プラズマを閉じ込めることの難しさ」を物語ります³。球状トカマクは高 β を狙える構成として研究されています。

次の一歩 🌸

磁気圧の基礎は磁気圧をPythonで、閉じ込め方式は磁場閉じ込め、装置はトカマクへどうぞ。

Footnotes

1. β = プラズマ圧力 / 磁気圧 = nkT / (B²/2μ₀)。磁場をどれだけ有効に使ってプラズマを閉じ込めているかを示す。高いほど経済的。 ↩

2. トロヨン限界 β_max ≈ g·I/(aB)。これを超えると MHD 不安定性（キンク・バルーニング）でプラズマが崩壊する。設計上の重要な制約。 ↩

3. 実機トカマクの β は数%程度。低く見えるが、高圧プラズマを磁場で安定に閉じ込める難しさの表れ。球状トカマクは高βを目指す配位。 ↩